Prüfungsfragen zur Vorlesung Math. 1. Semester

1.	Beschreiben Sie die Entwicklung mathematischen Denkens anhand der Stufentheorie von Piaget.

Schema:	Das Kind ist bestrebt, dass zwischen der Umwelt  und dem internen Bild    von der Umwelt (Schema) ein Gleichgewicht herrscht.

•	Besteht dieses Gleichgewicht, so entspricht die Umwelt dem inneren Bild von dieser Umwelt.
•	Herrscht kein Einklang, so besteht das Bestreben, dieses Gleichgewicht wieder herzustellen.

Assimilation:	Das Kind versucht, sein Schema beizubehalten und möglichst viele Erscheinungen diesem Schema unterzuordnen.
Neue Erscheinungen werden mit einem bekannten Erklärungsmuster interpretiert.

Akkomodation:	Gleichgewicht zwischen Umwelt und Schema wird erzeugt, indem die bestehenden Schemata abgeändert oder neue Schemata aufgebaut werden.

Assimilation:		Schema bleibt konstant, Erscheinungen variieren.

Akkomodation:	neue Erscheinung wird festgehalten, Schemata variieren

Denkentwicklung nach Piaget ist eine Entwicklung zur größeren Beweglichkeit des Denkens.

Piaget unterscheidet fünf aufeinanderfolgende Stufen:

1.	Phase der sonsomotorischen Intelligenz (1. Mon.):
2.	Phase des symbolisch-anschaulichen (präoperativen) Denkens (2. Lj.)
3.	Phase des logisch-konkreten (operativen) Denkens (8. Lj.)
- Kind kann mit allg. Begriffen sprachlich oder mathematisch denken 
- Denken wird umkehrbar
- Umkehrbarkeit ist ein notwendiges Kriterium für die Invarianz der Menge 
- Phänomen der Invarianz wird begriffen
4.	Phase des logisch-formalen (formales) Denkens (12. Lj.):
5.	Phase des hypothetischen Denkens (18. Lj.)

(Stufen benennen können, 3. Stufe genauer beschreiben können)

2.	Erläutern Sie die Repräsentationsebenen nach Bruner anhand eines praktischen Beispiels.

Bruner meint, dass das Kind auf jeder Entwicklungsstufe eine charakteristische Art und Weise hat, die Welt zu betrachten und für sich selbst zu erklären.
Ein Kind zu unterrichten heißt demnach, die Struktur des Gegenstandes so darzustellen, wie das Kind sie sieht.

Präsentationsebenen nach Bruner:

-	SYMBOLISCH
Erfassen von Sachverhalten durch verbale
Mitteilungen oder im Zeichensystem

-	IKONISCH
Efassen von Sachverhalten durch
Bilder und Grafiken

-	ENAKTIV
Efassen von Sachverhalten durch
eigene Handlungen

Die Unterrichtserfahrungen zeigen, dass das Verbinden von zwei Niveaustufen den Schülern auf unterschiedliche Weise Schwierigkeiten bereiten kann.

Prakt. Beispiel:

Das Verbalisieren von selbst durchgeführten oder beobachteten Handlungen fällt leichter als das Skizzieren einer Zahlendarstellung.

Deutlich wird hier, dass Repräsentationsstufen nicht isoliert nebeneinander existieren, sondern dass zahlreiche Übergänge zwischen ihnen möglich sind. Daraus leitet sich das sogenannte Spiralprizip ab.

3.	Benennen Sie die Aufbau- und Verinnerlichungsstufen des mathematischen Lernprozesses nach Aebli.

AEBLI – 4 Stufen	(3 Verinnerlichungsstufen – 4. Stufe: Automatisierung und Anwendung math. Operationen):

Stufe 1:	HANDLUNG AN KONKRETEN MATERIALIEN:

Wenn man von einer Ordnung alles Konkrete, alles Sichtbare abstreift, dann kommt man zu einer quantitativen Struktur.

z.B.1 + 1 + 1 + 1 ... usw.
Diese Ordnung oder Struktur ist mit Hilfe einer Handlung entstanden und stellt die mathematische Operation der Addition dar.

Ziel ist es, durch selbständige Handlungen Einsicht in die (prä-)mathematische Struktur zu erlangen.
Kinder müssen lernen, die Strukturen zu erkennen, zu verinnerlichen, vorzustellen und mit diesen Ordnungen zu manipulieren.

Stufe 2:	BILDHAFTE DARSTELLUNGEN:

Auf dieser Stufe geht es um die bildliche Darstellung im Zusammenhang mit grafischen Zeichen und Symbolen. All das, was auf der ersten Stufe des Verinnerlichungsprozesses mathematischer Operationen konkret stattfand, muss nun vorgestellt werden.

Geforderte Fähigkeiten (z.B.)
•	Fähigkeit der motor. Ausführung der Schreibbewegung
•	Fähigkeit, sich den Operationsverlauf visuell vorstellen zu können
•	Fähigkeit, die konkrete Handlung in abstrakter Entsprechung auszubilden
•	Fähigkeit der motor. Ausführung z.B.beim Ordnen, Zuordnen u. Sortieren des Materials

Stufe 3:	SYMBOLISCHE DARSTELLUNG:

Der bildhaften Darstellung folgt die zeichenmäßige Darstellung in Form der Zifferngleichung – Wechsel der Repräsentationsebene – es wird nur noch die mathematische Struktur betrachtet – Übergang zu logisch-unanschaulichen Handlungen.

Stufe 4:	AUTOMATISIERUNG UND ANWENDUNG MATHEMATISCHER OPERATIONEN:

Erst, wenn der Unterricht die ersten drei Verinnerlichungsstufen erreicht, ist die Grundlage zur Automatisierung geschafften.
Automatisierung im Zeichenbereich bedeutet eine weitere Entlastung und komplexe Problemlösungen unter Verwendung verschiedener Operationen werden erleichtert.
Mit Automatisierung ist keineswegs ein mechanisch-assoziatives Einschleifen gemeint, das ohne Sinnbezug herstellbar ist.
Sondern die Fähigkeit, die gewusste, automatisierte Ausführung zu übertragen und in den vorangehenden Darstellungsformen zu repräsentieren.

4.	Definieren Sie folgende didaktische Prinzipien der Mathematik;

Orientierung am Vorwissen:
Es sollte eine bewusste und sorgfältige Erhebung der jeweiligen Lernausgangslagen erfolgen, bevor er inhaltlich thematisiert wird.
Diese Vorerkenntniserhebungen sollten dazu dienen, die informellen, noch vorläufigen möglicherweise fehlerhaften Zugänge und Fähigkeiten der Kinder nicht zur festzustellen, sondern sie ernsthaft zum Ausgangspunkt für das (Weiter-)Lernen zu machen.

Spiralprinzip.
Dieses Prinzip leitet sich aus der Psychologie Bruners ab.
Die fundamentalen Ideen sollen bereits im Anfangsunterricht kindgerecht, aber intellektuell redlich grundgelegt werden und dann auf den weiteren Stufen des Lernprozesses, d.h. in späteren Jahrgangsstufen erneut aufgegriffen und dabei angereichert werden.

Zone der nächsten Entwicklung:
Dieses Prinzip geht zurück auf den russischen Psychologen Vygotsky.
Jedes beliebige Entwicklungsniveau ist durch zwei Entwicklungszonen gekennzeichnet:
-	eine Zone der aktuellen Leistung und
-	eine Zone der nächsten Entwicklung

Umfasst jene Leistungen, die auf Grund der bisherigen Entwicklung und Aneignung möglich geworden sind, aber noch nicht selbstständig realisiert werden können.

Natürliche Differenzierung:
Merkmale:	- alle Kinder der Klasse erhalten das gleiche Lernangebot(z.B. einen  Aufgabenkontext), man benötigt also keine Unmenge an separat erstellten Materialien.
-	Dieses Angebot muss dem Kriterium der Ganzheitlichkeit genügen und darf eine gewisse Komplexität nicht unterschreiten.
-	Ganzheitliche Kontexte enthalten Fragestsellungen unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades
-	Das Postulat des sozialen Mit- und Voneinanderlernens wird erfüllt durch unterschiedliche Zugangsweisen, Bearbeitungen und Lösungen.

5.	Allg. Lernziele kommen wahrscheinlich nicht (ansonsten siehe Skript: Ziele des Mathematikunterrichts:

6.	Welche Klassifikationen von Lernzielen unterscheidet man. Beschreiben Sie diese in Kürze:

Man unterscheidet folgende Klassifikationen von Lernzielen:

•	Lernziele nach dem Abstraktionsprinzip (Präzisierung der Lernzielformulierung):
Feinziele: präzise Lernzielformulierung
Grobziele: mittlerer Grad an Eindeutigkeit der Lernzielformulierung
Richtziele: geringster Grad an Eindeutigkeit

•	Lernziele nach der Fachbezogenheit::
Allgemeine Lernziele: Richt- und Grobziele, die über Auswahl der fachlichen Lernziele mitentscheiden – pädagogisch erwünschtes Wissen (z.B. Förderung von Formalverhaltensweisen, wie saubere Darstellung, Genauigkeit, ...)
Fachliche Lernziele: Stoffinhalte, die der Schüler lernen muss, und was er mit ihnen tun muss.

•	Lernziele nach der Lernzielebene (Lernziele nach dem Schwierigkeitsgrad):
Reproduktion: verlangt vom Schüler, dass er den Stoff jederzeit aus dem Gedächtnis wiedergeben kann.
Reorganisation: der Schüler muss den Stoff verarbeiten bzw. nur anordnen können.
Transfer: Grundprinzipien des bekannten Stoffgebietes werden auf ähnliche neue Aufgaben übertragen.
Problemlösendes Denken: ist die höchste Lernebene und stellt eine Neuleistung des Lernenden dar.

•	Lernziele nach dem Lernbereich:

Man unterscheidet 3 Dimensionen:
* Kognitive Lernziele: Wissen, z.B. Kind weiß, dass + das Zeichen für die Addition ist
* affektive Lernziele: Gefühle, soziale Ebene, Eigenständigkeit, Selbstkompetenz, Teamfähigkeit, ...
* psychomotorische Lernziele: z.B. Schreiben od. Lineal richtig anlegen, ...

(Lernzieltaxonomisierung kommt nicht, Hierarchische Reihung v. Lernzielen, Wissen, Verstehen auch nicht)

7.	Rechenoperationen und deren Rechengesetze:

Def. Zahlensystem:
Das Zahlensystem ist ein System von Zahlzeichen und Ziffern, durch die sich die natürlichen Zahlen eindeutig darstellen lassen.
Zwei Arten von Zahlensystemen:		- Positions- oder Stellenwertsystem und
						- das Additionssystem

Das einfachste Zahlensystem sind die Zählstriche (schnell aufwendig und wenig übersichtlich.

Um die Größe der Zahlen festzustellen zu können, mussten Zahlen bzw. Zahlengruppen zusammenaddiert werden. Der typischste Vertreter ist das römische Zahlensystem.
Das Positions- und Stellenwertsystem benötigt nur so viele Zahlzeichen, wie die ihm zugrunde liegende Grundzahl beträgt.
Diese Zahlzeichen heißen Ziffern.
In unserem Dezimalsystem benutzen wir die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
z.B. Darstellung des Nachfolgers der 9:		nächstgrößere Einheit (links) die Ziffer 1 und in die untere Stelle eine 0= 10

Die 0 hat im Additionssystem keinerlei Bedeutung, für Stellenwertsysteme ist sie zwingend notwendig

Natürliche Zahlen (N):

•	0 (Null) ist die erste natürliche Zahl, jede natürl. Zahl besitzt einen Nachfolger (0,1,2,3,4,5,...)
•	In den natürl. Zahlen ist eine Reihenfolge (Ordnung) festgelegt, die Zahl vor jeder Zahl = Vorgänger, die nach jeder Zahl =Nachfolger, alle Zahlen besitzen einen Nachfolger, alle (außer 0) einen Vorgänger.
•	Zwischen einer natürl. Zahl und ihrem Nachfolger gibt es keine weitere natürliche Zahl.
•	Die größere Zahl muss man sich rechts, die kleinere links von einer Zahl vorstellen (s. Zahlenstrahl – Veranschaulichung)
•	Haben zwei natürl. Zahlen unterschiedl. Anzahl von Stellen, so ist diejenige mit den meisten Stellen die Größere.
•	Haben zwei natürl. Zahlen gleiche Stellenanzahl, so werden Stellen erglichen, die am weitesten links liegen (sollten diese auch gleich sein, vergleicht man die nächste Stelle, ...)
•	Im Bereich der natürl. Zahlen sind die Grundrechenoperationen definiert.

Rechenoperation:

Rechenoperationen sind Vorschriften zur Verknüpfung von Zahlen.

Die Grundrechenoperationen sind Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

Addition:

Summand + Summand = Summe

•	Ist aus Zusammenzählen natürl. Zahlen entsstanden.
•	Eine Addition in den natürl. Zahlen ist immer ausführbar.
•	Rechenzeichen ist das +.
•	Die Addition natürl. Zahlen ist kommutativ (eine Vertauschung der Operanden hat keinen Einfluss auf das Ergebnis: a+b = b+a)

Subtraktion:

Minuend – Subtrahend = Differenz

•	Ist aus dem Abziehen natürl. Zahlen entstanden.
•	Umkehroperation zur Addition
•	Da die natürl. Zahl 0 keinen Vorgänger besitzt, ist die Subtraktion in den natürl. Zahlen nicht immer ausführbar.
•	Die Subtraktion ist nur dann ausführbar, wenn von einer natürl. Zahl eine natürl. Zahl abgezogen wird, die nicht größer ist.
•	Als Rechenzeichen wird das- Minuszeichen – verwendet.
•	Die Subtraktion natürl. Zahlen ist nicht kommutativ.

Multiplikation

Faktor . Faktor = Produkt

•	Ist aus der Addition entstanden.
•	Multiplikation ist die verkürzte Schreibweise von Summen mit gleichen, natürlichen Summanden.
•	Die Multiplikation natürlicher Zahlen ist kommutativ.
•	Als Rechenzeichen wird der Malpunkt (.) verwendet.

Division:

Dividend : Divisor = Quotient

•	Ist aus Notwendigkeit entstanden, best. Objekte aufzuteilen (z.B. Tiere, Nahrungsmittel, ...)
•	In den natürl. Zahlen ist diese Rechenoperation durch fortgesetzte Subtraktion umzusetzen; dabei kann ein nicht teilbarer Rest entstehen.
•	Sie stellt die Umkehrfunktion der zur Multiplikation dar.
•	Die Division ist wie die Subtraktion nicht immer ausführbar in N.
•	Die Division ist nicht kommutativ.
•	Division durch 0 nicht erlaubt.
•	Rechenzeichen ist Doppelpunkt(:) oder Bruchstrich -.

Rechenregeln:
Def.: umfassen die Vorschriften, wie die Rechenoperationen auszuführen sind und zum anderen eine Reihenfolge der Rechenoperationen nach ihrer Wertigkeit.

Vorrangregeln:

Die Rangfolge der Rechenoperationen regelt, welche Rechenoperationen zuerst auszuführen sind.

1.	alle Klammern berechnen
2.	alle Multiplikationen und Divisionen ausführen (Punkt- vor Strichrechnung)
3.	alle Additionen und Subtraktionen ausführen

Die betrachteten Rechenoperationen werden als Verknüpfungen hervorgehoben. Dabei werden die Rechengesetze wie Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz thematisiert.

Monotoniegesetz: - konstantes Ergebnis z.B. 5+4=9, 7+2=9)

Kommutativgesetz: a+b = b+a
Assoziativgesetz: a+(b+c) = (a+b)+c